Miembro de una extensa familia de músicos del Nápoles del siglo XVIII, Antonio Besozzi fue el menor de los seis hijos del oboísta Giuseppe Besozzi y sobrino de Alessandro Besozzi.  Sus hermanos fueron: Henri (1775), Francesco (1766-1816), Gerolamo (1727-1798), Gaetano (1727-1798) y Antonio (1714-1781). Desde el 8 de octubre de 1727 a 1731 fue miembro de la Guardia Irlandese ducal, una banda de oboes creada en 1702 por Antonio Farnese, duque de Parma. Desde 1734 estuvo activo en Nápoles hasta el nacimiento de su hijo Carlo Besozzi en 1738, cuando partió hacia Dresde para unirse a la orquesta de la Capilla Real y convertirse en su primer oboísta el 2 de octubre de 1739. Antonio, considerado uno de los oboístas más famosos de su tiempo, tuvo inicialmente un salario de 800 Thalers al mes, y desde 1745 de 1200 Thalers.

En 1754 se le unió su hijo Carlo en la corte de Dresde. Sin embargo, el teatro de la ópera de Dresde fue destruido por los prusianos en la Guerra de los Siete Años (1756-1763), rompiendo el notable grupo de músicos reunidos por el elector Federico Augusto II. A principios de 1757 los Besozzi escaparon a Londres, Inglaterra, donde fueron conocidos como Signori Besozzi.

En diciembre de ese mismo año se trasladaron a París, donde tocaron en el Concert Spirituel. En los años 1758-59 estuvo al servicio de la corte de Stuttgart, bajo la dirección de Niccolò Jommelli, tras lo cual regresaron a Dresde hasta que dimitió en 1774. Sin embargo su hijo continuó tocando hasta 1792. En mayo de 1778 tocó en Salzburgo con su hijo, habiendo sido tenido en alta estima por Leopold Mozart. Luego regresó a Dresde y luego a Turín, donde se instaló hasta su muerte a los 67 años de edad.

Compuso varios conciertos para oboe y algunos quintetos, a los que llamó "sonatas", para dos oboes, dos trompas y un fagot. Junto con Johann Christian Fischer, Besozzi pudo haber sido un colaborador de los fabricantes de instrumentos Grenser y Grundmann, quienes produjeron el prototipo de oboe clásico europeo en Dresde por esta época.